Entiers longs (2)

Préambule

Nous allons voir comment utiliser l'unité uentier, dont la construction a été commencée dans la première partie, pour calculer un grand nombre de décimales des constantes mathématiques e, pi et racine de 2.

Chacun des 3 programmes à écrire commencera donc par la ligne :

uses uentier;

ce qui permettra d'utiliser le type Entier ainsi que les diverses procédures et fonctions définies dans l'interface de uentier.

Calcul de e

Pour calculer le nombre e on utilisera la suite en définie par :

On montre que e-e_n < 10^-251 pour n=144. On calculera donc e₁₄₄ pour obtenir 250 décimales.

Pour calculer e_n on utilisera l'égalité suivante :

Ceci nous donne l'algorithme :

pour n allant de 144 à 1 faire 
 ( diviser par n et ajouter 1 )

Ecrire le programme calculant 10²⁵⁰e qui fournira 250 décimales de e.

Résultat obtenu :

Calcul des 250 premières décimales du nombre e.
...
27182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475
94571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738
13232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924
47614606680

Calcul de pi

Pour calculer le nombre Pi nous utiliserons la formule de Machin :

Le calcul de Arctan(x) se fera à l'aide de son développement en série entière :

qui devient :

On obtient ArcTan(1/d) avec une précision de p décimales en calculant un nombre de termes supérieur ou égal à (p.ln(10))/(2.ln(d)).

On se propose de calculer les 200 premières décimales de PI.

1. Ecrire une procédure ArctanInv(d:Integer; var e:Entier) qui calcule 10²⁰⁰.Arctan(1/d).
2. Ecrire un programme qui calcule les 200 premières décimales de PI.

Résultat obtenu :

Calcul des 200 premières décimales de PI.
31415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089
98628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450
28410270193852110555964462294895493038184

Calcul de racine de 2

1. Ecrire une procédure qui calcule la partie entière de la racine carrée d'un entier (on pourra procéder par dichotomie, attention aux dépassements de capacités).
2. Pour calculer n décimales de la racine carrée de 2, on calculera la partie entière de la racine carrée de 2.10²ⁿ.
   Calculer les 100 premières décimales de la racine carrée de 2.

Résultat obtenu :

Nombre de décimales : 100
14142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070
388503875343276415727